一、永磁同步电机的分类

永磁体的安装方式（机械结构）：描述磁铁如何物理地放置在转子上。
- 表贴式：永磁体贴在转子铁芯的外表面。
- 内置式：永磁体嵌入或埋在转子铁芯内部。
磁路对称性（电磁特性）：描述电机是否在电磁性能上表现出凸极性（直轴和交轴磁路不对称）。
- 凸极式：直轴磁阻与交轴磁阻显著不同。
- 隐极式：直轴磁阻与交轴磁阻基本相同（磁路对称）。

PMSM结构图

二、自然坐标系下的PMSM方程

为了简化分析，我们假设三相PMSM为理想电机，且满足下列条件：

永磁磁场和电枢磁场在气隙中均为正弦分布。
忽略电机铁芯的饱和；
不计电机中的涡流和磁滞损耗；
电机中的电流为对称的三相电流。

2.1 电压方程

\[\left[ \begin{matrix} u_a \\ u_b \\ u_c \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} R_s & 0 & 0\\ 0 & R_s & 0\\ 0 & 0 & R_s \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} i_a \\ i_b \\ i_c \end{matrix} \right]+\frac{d}{dt} \left[ \begin{matrix} \psi_a \\ \psi_b \\ \psi_c \end{matrix} \right] \tag{1}\]

其中:$\psi_a,\psi_b,\psi_c$为三相绕组的磁链,$u_a,u_b,u_c$为定子的三相电压，$R_s$为定子绕组的电阻，$i_a,i_b,i_c$为三相电流。

2.2 磁链方程

\[\left[\begin{matrix} \psi_a \\ \psi_b \\ \psi_c \end{matrix}\right]= \left[\begin{matrix} L_{aa} & M_{ab} & M_{ac} \\ M_{ba} & L_{bb} & M_{bc} \\ M_{ca} & M_{cb} & L_{cc} \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} i_{a} \\ i_{b} \\ i_{c} \end{matrix}\right]+\psi_f \left[\begin{matrix} \cos(\theta_e) \\ \cos(\theta_e-2\pi/3) \\ \cos(\theta_e+2\pi/3) \end{matrix}\right] \tag{2}\]

其中:$L_{aa},L_{bb},L_{cc}$为各绕组的自感，$M_{ab},M_{ac},M_{ba},M_{bc},M_{ca},M_{cb}$为各绕组间的互感，$\theta_e$为转子的电角度。

绕组自感为：

\[\begin{align} L_{aa}&=L_{ls}+L_a-L_b\cos(2\theta_e)\\ L_{bb}&=L_{ls}+L_a-L_bcos(2(\theta_e-\frac{2\pi}{3}))\\ L_{cc}&=L_{ls}+L_a-L_bcos(2(\theta_e+\frac{2\pi}{3})) \end{align}\]

绕组互感为：

\[\begin{align} M_{ab}&=-\frac{L_a}{2}+L_b\cos(2\theta_e-\frac{2\pi}{3})\\ M_{ac}&=-\frac{L_a}{2}+L_b\cos(2\theta_e+\frac{2\pi}{3})\\ M_{bc}&=-\frac{L_a}{2}+L_b\cos(2\theta_e) \end{align}\]

其中：$L_{ls}$表示漏感；$L_{a}$表示静止坐标系下，每相自感的平均值（直流量）；$L_{b}$表示静止坐标系下，每相自感波动分量的最大值。

2.3 电磁转矩方程

电磁转矩$T_e$等于磁场储能对机械角度$\theta_m$位移的偏导，因此有

\[T_e=\frac{1}{2}p_n\frac{\partial(i_{3s}^T\cdot\psi_{3s})}{\partial\theta_m} \tag{3}\]

其中：$p_n$为电机的极对数

2.4 机械运动方程

\[J\frac{d\omega_m}{dt}=T_e-T_L-B\omega_m \tag{4}\]

其中：$\omega_m$为机械角速度，$T_L$为负载转矩，$J$为转动惯量，$B$为阻尼系数。

公式（1）-（4）构成了三相永磁同步电机在自然坐标系下的基本数学模型，可以看出三相PMSM的数学模型是一个非线性、强耦合的多变量系统。为了便于控制器的设计，必须对其进行降阶和解耦。