在上一章中，我们介绍了PMSM在自然坐标系下的数学模型。为了简化自然坐标系下三相PMSM的数学模型，采用的坐标变换通常包括静止坐标变换（Clark变换）和同步旋转坐标变换（Park变换）。
一、Clark变换
由于a-b-c三相静止坐标系的方程相对复杂，变量较多，耦合度较高，所以对其进行解耦和简化。借助一个虚拟的两相静止坐标系，将复杂的abc坐标系经过数学推算等价到该两相坐标系中进行分析和计算。
为简化分析过程，通常在建立α-β静止坐标系时将α轴与a-b-c静止坐标系的a相轴重合，如图所示。
由图可得：
\[\begin{align} f_\alpha &= f_a - f_b\cos(\frac{\pi}{3}) - f_c\cos(\frac{\pi}{3})=f_a - \frac{1}{2}f_b - \frac{1}{2}f_c \\ f_\beta &= f_b\cos(\frac{\pi}{6}) - f_c\cos(\frac{\pi}{6})=\frac{\sqrt{3}}{2}f_b - \frac{\sqrt{3}}{2}f_c \end{align}\]将a-b-c静止坐标系下的各个相的物理量fa，fb，fc分别映射到α-β轴上，得到虚拟物理量fα，fβ，并分别表示时变电压，电流，磁链。
从a-b-c三相静止坐标系变换到α-β静止坐标的变换，称为Clark变换，用T3s/2s表示。
代入$U_a=U_m\cos(\omega t),U_b=U_m\cos(\omega t-\frac{2\pi}{3}),U_c=U_m\cos(\omega t+\frac{2\pi}{3})$可得：
\[\begin{align} U_\alpha&=U_m\cos(\omega t)-\frac{1}{2}U_m\cos(\omega t-\frac{2\pi}{3})-\frac{1}{2}U_m\cos(\omega t+\frac{2\pi}{3})\\ &=U_m\cos(\omega t)-\frac{1}{2}U_m(-\frac{1}{2}\cos(\omega t)+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin(\omega t))-\frac{1}{2}U_m(-\frac{1}{2}\cos(\omega t)-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin(\omega t))\\ &=\frac{3}{2}U_m\cos(\omega t)\\ U_\beta&=\frac{\sqrt{3}}{2}U_m\cos(\omega t-\frac{2\pi}{3})-\frac{\sqrt{3}}{2}U_m\cos(\omega t+\frac{2\pi}{3})\\ &=\frac{\sqrt{3}}{2}U_m(-\frac{1}{2}\cos(\omega t)+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin(\omega t))-\frac{\sqrt{3}}{2}U_m(-\frac{1}{2}\cos(\omega t)-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin(\omega t))\\ &=\frac{3}{2}U_m\sin(\omega t)=\frac{3}{2}U_m\cos(\omega t-\frac{\pi}{2}) \end{align}\]由运算结果可知，$U_\alpha$超前$U_\beta$ 90度，两者赋值相等，但为$U_m$的1.5倍。因此，若采用等幅值变换，需要在原来的表达式上，乘以2/3。那么此时的坐标变换表达式可以表示为：
\[\left[\begin{matrix} f_\alpha \\ f_\beta \\ f_0 \end{matrix}\right] = T_{3s/2s} \left[\begin{matrix} f_a \\ f_b \\ f_c \\ \end{matrix}\right]\]其中：
\[T_{3s/2s}=\frac{2}{3}\left[\begin{matrix} 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{matrix}\right] \tag{1}\]从α-β静止坐标到a-b-c静止坐标系，为$T_{3s/2s}$的逆矩阵，即：
\[T_{2s/3s}=T_{3s/2s}^{-1}=\left[\begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 1 \\ -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & 1 \end{matrix}\right] \tag{2}\]如果采用等功率变换，那么式中的系数$\frac{2}{3}$需要改成$\sqrt{\frac{2}{3}}$。$f_0$为零序分量，对于三相对称系统而言，在计算静止坐标系下的分量时，零序分量可以忽略。
二、Park变换
将静止坐标系α-β变换到同步旋转坐标系d-q的坐标变换称为Park变换。
从A轴开始，以wt($\theta_e$)的角速度旋转，这样合成的电压矢量会和dq0坐标轴同步旋转，旋转矢量和旋转的dq0坐标系处于一个相对静止的状态。令d轴的初始位置与A轴重合，如图所示。
由图可得：
\[\begin{align} f_d &= f_\alpha \cos(\theta_e) +f_\beta \sin(\theta_e)\\ f_q &= -f_\alpha \sin(\theta_e) + f_\beta \cos(\theta_e) \end{align}\]则Park变换矩阵$T_{2s/2r}$可以表示为：
\[T_{2s/2r}=\left[\begin{matrix} \cos(\theta_e) & \sin(\theta_e) \\ -\sin(\theta_e) & \cos(\theta_e) \end{matrix}\right] \tag{3}\]从旋转坐标系变换到静止坐标系，为$T_{2s/2r}$的逆矩阵，即：
\[T_{2r/2s}=T_{2s/2r}^{-1}=\left[\begin{matrix} \cos(\theta_e) & -\sin(\theta_e) \\ \sin(\theta_e) & \cos(\theta_e) \end{matrix}\right] \tag{4}\]三、α-β坐标系下的数学模型
在上一章节中，我们推导出自然坐标系下的电机电压方程为：
\[\left[ \begin{matrix} u_a \\ u_b \\ u_c \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} R_s & 0 & 0\\ 0 & R_s & 0\\ 0 & 0 & R_s \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} i_a \\ i_b \\ i_c \end{matrix} \right]+\frac{d}{dt} \left[ \begin{matrix} \psi_a \\ \psi_b \\ \psi_c \end{matrix} \right] \tag{5}\]磁链方程为：
\[\left[\begin{matrix} \psi_a \\ \psi_b \\ \psi_c \end{matrix}\right]= \left[\begin{matrix} L_{aa} & M_{ab} & M_{ac} \\ M_{ba} & L_{bb} & M_{bc} \\ M_{ca} & M_{cb} & L_{cc} \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} i_{a} \\ i_{b} \\ i_{c} \end{matrix}\right]+\psi_f \left[\begin{matrix} \cos(\theta_e) \\ \cos(\theta_e-2\pi/3) \\ \cos(\theta_e+2\pi/3) \end{matrix}\right] \tag{6}\]由于：
\[\left[ \begin{matrix} u_a \\ u_b \\ u_c \end{matrix} \right]=T_{2s/3s} \left[\begin{matrix} u_\alpha \\ u_\beta \end{matrix}\right], \left[ \begin{matrix} i_a \\ i_b \\ i_c \end{matrix} \right]=T_{2s/3s} \left[\begin{matrix} i_\alpha \\ i_\beta \end{matrix}\right]\]代入式（5）可得
\[T_{2s/3s} \left[\begin{matrix} u_\alpha \\ u_\beta \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} R_s & 0 & 0\\ 0 & R_s & 0\\ 0 & 0 & R_s \end{matrix}\right] T_{2s/3s} \left[\begin{matrix} i_\alpha \\ i_\beta \end{matrix}\right]+\frac{d}{dt} (L_s T_{2s/3s}\left[\begin{matrix} i_\alpha \\ i_\beta \end{matrix}\right]+\psi_f \left[\begin{matrix} \cos(\theta_e) \\ \cos(\theta_e-2\pi/3) \\ \cos(\theta_e+2\pi/3) \end{matrix}\right]) \tag{7}\]对式（7）两侧同乘以$T_{3s/2s}$后，可得：
\[\left[\begin{matrix} u_\alpha \\ u_\beta \end{matrix}\right] =T_{3s/2s} \left[\begin{matrix} R_s & 0 & 0\\ 0 & R_s & 0\\ 0 & 0 & R_s \end{matrix}\right] T_{2s/3s} \left[\begin{matrix} i_\alpha \\ i_\beta \end{matrix}\right]+\frac{d}{dt} (T_{3s/2s} L_s T_{2s/3s}\left[\begin{matrix} i_\alpha \\ i_\beta \end{matrix}\right]+\psi_f T_{3s/2s} \left[\begin{matrix} \cos(\theta_e) \\ \cos(\theta_e-2\pi/3) \\ \cos(\theta_e+2\pi/3) \end{matrix}\right]) \tag{8}\]对式（8）整理得：
\[T_{3s/2s} \left[\begin{matrix} R_s & 0 & 0\\ 0 & R_s & 0\\ 0 & 0 & R_s \end{matrix}\right] T_{2s/3s} = \left[\begin{matrix} R_s & 0 \\ 0 & R_s \end{matrix}\right]\] \[\begin{align} T_{3s/2s} L_s T_{2s/3s} &= \frac{2}{3}\left[\begin{matrix} 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} L_{aa} & M_{ab} & M_{ac} \\ M_{ba} & L_{bb} & M_{bc} \\ M_{ca} & M_{cb} & L_{cc} \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} 1 & 0 \\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{matrix}\right]\\ &= \frac{2}{3} \left[\begin{matrix} L_{aa}+\frac{1}{4}L_{bb}+\frac{1}{4}L_{cc}-M_{ba}-M_{ca}+\frac{1}{2}M_{bc} & \frac{\sqrt{3}}{4}(2M_{ab}-2M_{ac}+L_{bb}+L_{cc})\\ \frac{\sqrt{3}}{4}(2M_{ba}-2M_{ca}-L_{bb}+L_{cc}) & \frac{3}{4}(L_{bb}-2M_{bc}+L_{cc}) \end{matrix}\right]\\ &= \left[\begin{matrix} L_{ls}+\frac{3}{2}L_{a}+\frac{3}{2}L_{b}\cos(2\theta_e) & \frac{3}{2}L_{b}\sin(2\theta_e)\\ \frac{3}{2}L_b\sin(2\theta_e) & L_{ls}+\frac{3}{2}L_{a}-\frac{3}{2}L_{b}\cos(2\theta_e) \end{matrix}\right] \end{align}\] \[T_{3s/2s} \left[\begin{matrix} \cos(\theta_e) \\ \cos(\theta_e-2\pi/3) \\ \cos(\theta_e+2\pi/3) \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} \cos(\theta_e) \\ \sin(\theta_e) \end{matrix}\right]\]令 \(L_{\alpha\beta}=\left[\begin{matrix} L_{ls}+\frac{3}{2}L_{a}+\frac{3}{2}L_{b}\cos(2\theta_e) & \frac{3}{2}L_{b}\sin(2\theta_e)\\ \frac{3}{2}L_b\sin(2\theta_e) & L_{ls}+\frac{3}{2}L_{a}-\frac{3}{2}L_{b}\cos(2\theta_e) \end{matrix}\right]\)
将上述化简，代入式（8）后得：
\[\begin{align} \left[\begin{matrix} u_\alpha \\ u_\beta \end{matrix}\right] &= \left[\begin{matrix} R_s & 0 \\ 0 & R_s \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} i_\alpha \\ i_\beta \end{matrix}\right]+\frac{d}{dt} (\left[\begin{matrix} \psi_\alpha \\ \psi_\beta \end{matrix}\right]) \\ &= \left[\begin{matrix} R_s & 0 \\ 0 & R_s \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} i_\alpha \\ i_\beta \end{matrix}\right]+\frac{d}{dt} (L_{\alpha\beta} \left[\begin{matrix} i_\alpha \\ i_\beta \end{matrix}\right]+\psi_f \left[\begin{matrix} \cos(\theta_e) \\ \sin(\theta_e) \end{matrix}\right]) \end{align} \tag{9}\]四、dq坐标系下的数学模型
由于：
\[\left[\begin{matrix} u_\alpha\\ u_\beta \end{matrix}\right] = T_{2r/2s} \left[\begin{matrix} u_d \\ u_q \end{matrix}\right], \left[\begin{matrix} i_\alpha\\ i_\beta \end{matrix}\right] = T_{2r/2s} \left[\begin{matrix} i_d \\ i_q \end{matrix}\right]\]将上述公式代入式（9）可得
\[\begin{align} \left[\begin{matrix} u_d \\ u_q \end{matrix}\right] &= T_{2s/2r} \left[\begin{matrix} R_s & 0 \\ 0 & R_s \end{matrix}\right] T_{2r/2s} \left[\begin{matrix} i_d \\ i_q \end{matrix}\right] + T_{2s/2r} \frac{d}{dt} (T_{2r/2s} \left[\begin{matrix} \psi_d \\ \psi_q \end{matrix}\right])\\ &= T_{2s/2r} \left[\begin{matrix} R_s & 0 \\ 0 & R_s \end{matrix}\right] T_{2r/2s} \left[\begin{matrix} i_d \\ i_q \end{matrix}\right] + \frac{d}{dt} \left[\begin{matrix} \psi_d \\ \psi_q \end{matrix}\right]- T_{2r/2s} \left[\begin{matrix} \psi_d \\ \psi_q \end{matrix}\right] \frac{d}{dt}(T_{2s/2r}) \end{align} \tag{10}\]注：由于Park变换是关于角度的函数，需要进行复合求导，即： \(A\frac{dB}{dt}=\frac{dAB}{dt}-B\frac{dA}{dt}\)
对式（10）整理可得：
\[\begin{align} \left[\begin{matrix} \psi_d\\ \psi_q \end{matrix}\right]&=T_{2s/2r} \left[\begin{matrix} \psi_\alpha\\ \psi_\beta \end{matrix}\right]\\ &=T_{2s/2r} \left[\begin{matrix} L_{ls}+\frac{3}{2}L_{a}+\frac{3}{2}L_{b}\cos(2\theta_e) & \frac{3}{2}L_{b}\sin(2\theta_e)\\ \frac{3}{2}L_b\sin(2\theta_e) & L_{ls}+\frac{3}{2}L_{a}-\frac{3}{2}L_{b}\cos(2\theta_e) \end{matrix}\right] T_{2r/2s} \left[\begin{matrix} i_d\\ i_q \end{matrix}\right] + \psi_f T_{2s/2r} \left[\begin{matrix} \cos(\theta_e) \\ \sin(\theta_e) \end{matrix}\right] \end{align}\] \[T_{2s/2r} \left[\begin{matrix} L_{ls}+\frac{3}{2}L_{a}+\frac{3}{2}L_{b}\cos(2\theta_e) & \frac{3}{2}L_{b}\sin(2\theta_e)\\ \frac{3}{2}L_b\sin(2\theta_e) & L_{ls}+\frac{3}{2}L_{a}-\frac{3}{2}L_{b}\cos(2\theta_e) \end{matrix}\right] T_{2r/2s} = \left[\begin{matrix} L_{ls}+\frac{3}{2}L_a+\frac{3}{2}L_b & 0 \\ 0 & L_{ls}+\frac{3}{2}L_a-\frac{3}{2}L_b \end{matrix}\right]\] \[T_{2s/2r} \left[\begin{matrix} \cos(\theta_e) \\ \sin(\theta_e) \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}\right]\] \[T_{2r/2s}\frac{d}{dt}(T_{2s/2r})=\omega_e \left[\begin{matrix} -\sin(\theta_e) & \cos(\theta_e)\\ -\cos(\theta_e) & -\sin(\theta_e) \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} \cos(\theta_e) & -\sin(\theta_e)\\ \sin(\theta_e) & \cos(\theta_e) \end{matrix}\right] =\omega_e \left[\begin{matrix} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{matrix}\right]\]令:
\[\begin{align} L_{dq}&=\left[\begin{matrix} L_{ls}+\frac{3}{2}L_a+\frac{3}{2}L_b & 0 \\ 0 & L_{ls}+\frac{3}{2}L_a-\frac{3}{2}L_b \end{matrix}\right]\\ &=\left[\begin{matrix} L_d & 0 \\ 0 & L_q \end{matrix}\right] \end{align}\]则$\psi_d,\psi_q$可以表示为： \(\left[\begin{matrix} \psi_d\\ \psi_q \end{matrix}\right]=L_{dq} \left[\begin{matrix} i_d\\ i_q \end{matrix}\right] + \left[\begin{matrix} \psi_f\\ 0 \end{matrix}\right]\)
将上述化简代入式（10）后得到：
\[\begin{align} \left[\begin{matrix} u_d \\ u_q \end{matrix}\right] &= \left[\begin{matrix} R_s & 0 \\ 0 & R_s \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} i_d\\ i_q \end{matrix}\right] + L_{dq}\frac{d}{dt} \left[\begin{matrix} i_d\\ i_q \end{matrix}\right] -\omega_e \left[\begin{matrix} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{matrix}\right] (L_{dq} \left[\begin{matrix} i_d\\ i_q \end{matrix}\right]+ \left[\begin{matrix} \psi_f\\ 0 \end{matrix}\right])\\ &= \left[\begin{matrix} R_s & -\omega_e L_q \\ \omega_e L_d & Rs \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} i_d\\ i_q \end{matrix}\right]+ \left[\begin{matrix} L_d & 0 \\ 0 & L_q \end{matrix}\right]\frac{d}{dt} \left[\begin{matrix} i_d\\ i_q \end{matrix}\right]+ \left[\begin{matrix} 0\\ \omega_e \psi_f \end{matrix}\right] \end{align} \tag{11}\]可以看出，三相PMSM的数学模型实现了完全的解耦。 此时电磁转矩方程可写为：
\[T_e=\frac{3}{2}p_ni_q[i_d(L_d-L_q)+\psi_f]\]