一、概述
在FOC控制中，常使用PID调节器用于电流环、转速环。对于PID调节器的参数整定方法，已经有大量的文献介绍。本文将介绍转速环PI和电流环PI的参数整定原理。
二、前馈解耦-电流环PI整定
2.1 电机的传递函数
首先回顾第二章节中的式（11）：
\[\begin{align} \left[\begin{matrix} u_d \\ u_q \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} R_s & -\omega_e L_q \\ \omega_e L_d & Rs \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} i_d\\ i_q \end{matrix}\right]+ \left[\begin{matrix} L_d & 0 \\ 0 & L_q \end{matrix}\right]\frac{d}{dt} \left[\begin{matrix} i_d\\ i_q \end{matrix}\right]+ \left[\begin{matrix} 0\\ \omega_e \psi_f \end{matrix}\right] \end{align}\]将该式重写为：
\[\begin{align} \frac{d}{dt}i_d&=-\frac{R_s}{L_d}i_d+\frac{L_q}{L_d}\omega_e i_q+\frac{1}{L_d}u_d \\ \frac{d}{dt}i_q&=-\frac{R_s}{L_q}i_q-\frac{1}{L_q}\omega_e (L_di_d+\psi_f)+\frac{1}{L_q}u_q \end{align} \tag{1}\]从式（1）中可以看出，定子电流$i_d,i_q$分别在q轴和d轴方向产生耦合电压。为消除该耦合电压，我们可以令：
\[\begin{align} u_{d0} &= u_d +\omega_e L_q i_q = R_si_d + L_d\frac{d}{dt}i_d\\ u_{q0} &=u_q-\omega_e (L_di_d+\psi_f)=R_si_q+L_q\frac{d}{dt}i_q \end{align} \tag{2}\]其中：$u_{d0},u_{q0}$分别为解耦后的d轴和q轴电压。其中$\omega_e L_q i_q$ 和 $-\omega_e (L_di_d+\psi_f) $就是前馈项。对式（2）经过拉普拉斯变换后，可以得到：
\[\begin{matrix} \left[\begin{matrix} u_{d0}(s)\\ u_{q0}(s) \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} R_s+sL_d & 0\\ 0 &R_s+sL_q \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} i_d(s)\\ i_q(s) \end{matrix}\right] \end{matrix}\]令 \(U(s)=\left[\begin{matrix} u_{d0}(s)\\ u_{q0}(s) \end{matrix}\right], Y(s)=\left[\begin{matrix} i_d(s)\\ i_q(s) \end{matrix}\right], G_m(s)=\left[\begin{matrix} \frac{1}{R_s+sL_d} & 0\\ 0 &\frac{1}{R_s+sL_q} \end{matrix}\right]\)
上式可以表示为：
\[Y(s)=G_m(s)U(s) \tag{3}\]2.2 PI的传递函数
让我们回顾下PID的表达公式：
\[u(t)=K_p(e(t)+\frac{1}{T_I}\int_0^t e(t))\]其中：$u(t)$是PID调节器的输出值，$e(t)$表示PID调节器的偏差输入值，$T_I$是积分时间常数。对其拉普拉斯变化后，得到PI的传递函数为：
\[G_{pi}(s)=\frac{U(s)}{E(s)}=K_p(1+\frac{1}{T_Is})\]d、q轴PID的传递函数可以表示为：
\[G_{pi}(s)=\left[\begin{matrix} K_{pd}+K_{id}\frac{1}{s} & 0\\ 0 & K_{pq}+K_{iq}\frac{1}{s} \end{matrix}\right] \tag{4}\]2.3 滞后环节的传递函数
延迟传递函数：在实际计算过程中，CPU进入中断读取电流反馈值，然后进行PI调节器的计算，得到输出电压（或者三角波比较值），但是输出电压或者较值不是立即作用出去的，通常会延迟一个PWM周期，才会将比较值输出出去。这样就造成了采样和计算的延时。
逆变器的传递函数：经过延迟环节，更新了三角波的比较值后，输出的电压是立刻作用到了负载上面吗？还不是的。需要经过逆变电路的调制，才能作用到电机上，通常这个环节会取0.5倍PWM周期的延迟。
综上，在滞后环节里，共有$1.5T_s$的延迟。其中$T_s$表示开关周期。根据拉普拉斯变换的延时定理，滞后环节的传递函数可以表示为：
\[G_D(s)=e^{-1.5T_ss}\]为方便后续的计算，我们可以对分母$e^{1.5T_ss}$泰勒展开，得到：
\[e^{1.5T_ss}=1+1.5T_ss+\frac{(1.5T_s)^2}{2}s^2+o(s^2)\]实际控制系统中，$T_s$往往是us级别，二次项以及高阶无穷小往往可以忽略，因此，可以表示为：
\[e^{1.5T_ss}\approx 1+1.5T_ss\]即，滞后环节的传递函数可以表示为：
\[G_D(s)\approx \frac{1}{1+1.5T_ss}\tag{5}\]2.4 PI参数整定
结合式（3）,（4）,(5)，电流环的传递框图可以表示为:
电流环的开环传递函数可以表示为:
从提高系统稳定性角度考虑，可以将PI调节器零点抵消电流控制器对象传递函数的极点，我们可以令
\[\frac{K_p}{K_i}=\frac{L}{R_s}\tag{6}\]来抵消式中的第三项。最终，我们可以得到：
\[G_i(s)=\frac{K_i}{R_s}*\frac{1}{s(1+1.5T_ss)}\]这是一个典型I系统。I系统的缺点是对斜坡和加速度输入的跟踪性能差。由于电流环常为单位阶跃输入，因此由I系统表示仍可以有较高的控制能力。典型I系统的开环传递函数表达式为：
\[W_1(s)=\frac{K}{s(Ts+1)}\]其中$K=\frac{K_i}{R_s},T=1.5T_s$。
典型I系统也是个二阶控制系统，传递函数写成标准形式为：
\[W_1(s)=\frac{\omega _n^2}{s^2+2\zeta \omega _ns+\omega _n^2}\]其中：
\[\begin{align} &自然频率表示为：\omega _n=\sqrt{\frac{K}{T}}\\ &阻尼比表示为：\zeta = \frac{1}{2\sqrt{KT}}\\ \end{align}\]在控制系统中，除了那些不允许有振荡的系统外，通常希望控制系统具有适当的阻尼、较快的响应速度和较快的调节时间。因此，二阶控制系统的设计，一般取$\zeta=0.4\sim0.8$。常用的，我们取阻尼比$\zeta=0.707$，即$KT=0.5$以获得均衡的控制性能。对于PI控制器，则：
\[\frac{K_i}{R_s}*1.5T_s = 0.5\tag{7}\]联合式（6）和式（7），可以得到：
\[\begin{align} K_p &= \frac{L}{3T_s}\\ K_i &= \frac{R_s}{3T_s}\tag{8} \end{align}\]基于前馈解耦的PI整定，需要对电机模型的参数有精确的识别。然而，由于内置式PMSM凸极效应的存在，模型误差给系统造成的影响不可忽略，因此这种方式并不能实现完全的解耦。
三、转速环PI整定
3.1 电机的传递函数
永磁同步电机的电磁转矩方程为：
\[T_e=\frac{3}{2}p_ni_q[i_d(L_d-L_q)+\psi_f]\]采用$i_d=0$控制时，电磁转矩中的$i_d$项可以忽略，$T_e=\frac{3}{2}p_ni_q\psi_f$,因此，这部分可以看成纯增益的环节。
\[G_T(s)=\frac{3}{2}p_n\psi_f \tag{9}\]运动学方程为：
\[J\frac{d\omega_m}{dt}=T_e-T_L-B\omega_m\]经过拉普拉斯变化后为：
\[J\omega_m s = T_e-T_L-B\omega_m\]转矩和转速的传递函数为：
\[G_M(s)=\frac{1}{Js+B} \tag{10}\]3.2 PI的传递函数
PI的传递函数与电流环一致，为：
\[G_{pi}(s)=K_p+\frac{K_i}{s} \tag{11}\]3.3 滞后环节的传递函数
在实际应用过程中，转速环计算出的控制指令通常要在下一个控制周期中作用，令转速环的控制周期为$T_d$，转速滞后环节的传递函数可以表示为：
\[G_D(s)=\frac{1}{T_ds+1} \tag{12}\]3.4 电流内环的传递函数
电流内环的传递函数
\[G_i(s)=\frac{K_i}{R_s}*\frac{1}{s(1+1.5T_ss)}\]FOC采用的级联结构是一种串联结构，外环的控制指令作为内环的参考输入信号。为了实现在设计外环控制系统（往往对应着最终控制目标）时能够忽略内环控制系统的影响，从而简化外环设计，必然要求内环的动态（带宽）要远高于外环带宽，体现为外环控制指令可以被内环完美跟踪，外环控制性能能够直接代表最终控制性能。
因此，在计算转速外环的参数时，可以把电流内环视作一阶惯性环节，它的作用相当于延时。又由于在实际运算过程中，往往电流环的带宽远高于转速环的带宽，因此可以把该环节的延时传递函数忽略，合并至转速环滞后环节的传递函数。
3.5 PI参数整定
结合式（9）~（12），转速环的控制框图可以表示为
为了进一步简化转速环的计算，忽略负载转矩的扰动，忽略阻尼系数$B$，转速环的开环传递函数可以表示为：
这是一个典型II系统，它的通用开环传递函数表示形式为：
\[W_2(s)=\frac{K(\tau s+1)}{s^2(Ts+1)}\]其中$K=\frac{3p_n\psi_f K_i}{2J}$，对应的是机械角速度。如果控制目标转速单位为rpm，那么$K_n=\frac{45p_n\psi_f K_i}{\pi J}$。
同样的，典型II系统也是一个三阶系统，从传递函数中可以看出：
- 有两个纯积分环节，幅频特性初始斜率为-40dB，初始相位角度为-180°；
- 转折频率分为$\frac{1}{T_d}$和$\frac{1}{\tau}$。
为了方便分析该控制系统，定义了新变量中频段$h=\lg\frac{1}{T_d}-\lg\frac{1}{\tau}$，它的意义是斜率为-20dB/sec的中频宽度。 中频带宽和截止频率的相位裕度是我们转速环设计的指标。截止频率处的相位裕度比较好确定，至少为45°，且越大越好。中频带宽一般由采样时间来决定。
假设电流环的采样频率为20kHz，电流环的采样周期$T_s=0.00005$，取转速环的采样周期是电流环的10倍，即$T_d=0.0005$。那么惯性环节的转折频率为$\frac{1}{T_d}=2000Hz$。而$\lg2000 = 3.3$，设计转速环中频带宽$h=2.0$，可以计算得出，微分环节的转折频率$\frac{1}{\tau}=20Hz$，那么$\tau=0.05$。
接下来，我们需要设计相位裕度。我们知道相频曲线的最高点，肯定是相位裕度最大的点。并且，这个点正好是两个转折频率的中点。因此，我们将截止频率设计至两个转折频率的中点。仍以刚才的数据为例，$\lg\omega_c=\lg\frac{1}{T_d}-\frac{h}{2}$，可以得到，$\omega_c=\frac{1}{T_d*10^{\frac{h}{2}}}$
截止频率和开环增益的关系为$\omega_c=K_n*\tau$。我们可以得到关系式：
\[\begin{align} &K_n=\frac{1}{T_d^2 10^{\frac{3h}{2}}}\\ &\tau = T_d*10^h \end{align}\]求解之后，得到：
\[\begin{align} K_p &= \frac{\pi J}{45p_n\psi_f T_d 10^{\frac{h}{2}}}\\ K_i &= \frac{K_p}{T_d10^h} \end{align}\]四、结语
根据以上的推导过程可以看出，上述电流环和转速环的PI整定中，都用到了大量的近似或者忽略处理，实际应用过程中，仍需要大量的调试来确定pi参数。